Question

如图，直线l:y=kx+b与x轴和y轴分别相交于点A(-8,0)B(0,6),O为坐标原点。（1）求直线L解析式

（2）若点P（x,y）是第二象限内直线l上的一个动点，求△OPA的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围
（3）若点P(0,m)为射线BO（B,O两点除外）上的一动点，过点P作PC⊥y轴交直线AB于C，连接PA，设△PAC的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围.

Answer 1

(1) l 的斜率K＝（6-0) / [0-(-8)]=3/4，纵截距为6，

　　故 l 的方程为 y=(3/4)x+6

(2)  过P作PQ⊥x轴，垂足为Q，PQ为△OPA在AO边上的高，

　　点P在 l 上，故坐标为（x，(3/4)x+6 )，

    P点在第二象限，故有　-8＜x＜0　，

　　那么|PQ|=|(3/4)x+6|，又｜AO｜＝8

　　所以△OPA面积为

　　S＝（1/2）｜AO｜×｜PQ｜

　　　＝（1/2）× 8 × |(3/4)x+6|

    　　＝ 3x+24   )，(-8＜x＜0)

(3)　当m＜0时，

　　△PAC的面积＝△PBC的面积－△BAC的面积，

　　＝（1/2）[｜PC｜×｜PB｜－|AO|×｜PB｜]

　　＝（1/2）[｜PC｜－|AO|]×｜PB｜

　　∵点C在 l 上，纵坐标为 m ，则横坐标满足  m=(3/4)x+6

　　推得 x = （4/3）m－8，所以｜PC｜＝｜（4/3）m－8｜

　　这时，△PAC的面积＝（1/2）[ ｜（4/3）m－8｜－8 ]×（6－m）

　　　　　　　　　　　＝（1/2）[－（4/3）m]×（6－m）

　　　　　　　　　　　＝－（2/3）*（6m－m＾2）

　　当0＜m＜6时，

　　　△PAC的面积＝（1/2）｜PC｜×｜OP｜

　　　　　　　　　＝（1/2）｜（4/3）m－8｜× ｜m｜

　　　　　　　　　＝（1/2）[ 8－（4/3）m ] × m 

　　当 m > 6 时略。