Question

已知函数f（x）=e的x次方，g（x）=x-m，m∈R.

（1）若曲线y=f（x）与直线y=g（x）相切，求实数m的值；
（2）记h（x）=f（x）•g（x），求h（x）在[0，1]上的最大值；
（3）当m=0时，试比较e的f（x-2）次方与g（x）的大小．

Answer 1

（1）设切点P为（x₀，e^x₀）
f'(x)=e^x,代入：f‘(x₀)=e^x₀=切线的斜率=1
∴x₀=1,P(1,e),代入g(x):
e=1-m,
∴m=1-e
（2）h'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)=e^x·(x+e-1)+e^x=e^x(x+e) 当x∈[0，1]时恒大于0.
∴在区间内h(x)单调递增，h(x)的最大值=h(1)=e²
（3）m=0,g(x)=x
x<0时，e^f(x-2)>0,
∴e^f(x-2)>g(x)
x≥0时,设h（x)=e^f(x-2)-g（x）
h’(x)=f'(x-2)e^f(x-2)=[e^(x-2)]'e^f(x-2)=e^(x-2)·e^e^(x-2)>0
∴x∈[0,+∞)时，h（x)单调递增
h(x)≥h(0)=e^e^(-2)-0>0
∴e^f(x-2)-g（x）>0
即e^f(x-2)>g（x）
综上：x∈R，e^f(x-2)>g（x）