Question

帮忙做一道初中数学题

如图，抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且经过点（2，-3a），对称轴是直线x=1，顶点是M．
（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）经过C，M两点作直线与x轴交于点N，在抛物线上是否存在这样的点P，使以点P，A，C，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设直线y=-x+3与y轴的交点是D，在线段BD上任取一点E（不与B，D重合），经过A，B，E三点的圆交直线BC于点F，试判断△AEF的形状，并说明理由；
（4）当E是直线y=-x+3上任意一点时，（3）中的结论是否成立（请直接写出结论）．

Answer 1

1、对称轴是X=1，则-b/（2a）=1，b=-2a ；抛物线过点（2，-3a），则4a+2b-3=-3a，所以可得a=1，b=-2，抛物线对应的函数表达式y=x2-2x-3；
2、由题意可得几个坐标点分别是C（0，-3），N（-3,0），A(-1,0)，假设存在点P，使以点P，A，C，N为顶点的四边形为平行四边形，则P点坐标应为（2，-3），而（2，-3）这个点又恰好在抛物线y=x2-2x-3上，所以假设是正确的，P点坐标是（2，-3）。
3、由题意可知BC所在直线表达式是y=x-3，而BD所在直线是y= -x+3，所以DB与BC垂直，则∠DBC=90°。由题意可知AEBF是圆的内接四边形，又∠EBF即是∠DBC=90°，所以∠EAF=∠EBF=90°，所以△AEF是直角三角形
4、当E是直线y=-x+3上任意一点时，（3）中的结论不成立

Answer 2

：(1)对称轴是直线x=1，
-b/2a=1
经过点(2，-3a)
4a+2b-3=-3a
解得：a=1,b=-2
y=x^2-2x-3

(2)当y=0时,x^2-2x-3=0
(x+1)(x-3)=0
x1=-1,x2=3
A(-1,0),B(3,0)
当x=0时,y=-3
C(0,-3)
当x=1时,y=-4
M(1,-4)
直线CM：y=kx+h
-3=h
-4=k+h
k=-1,h=-3
直线CM：y=-x-3
当y=0时,x=-3
N(-3,0)
若在抛物线上是否存在这样的点P，使以点P,A,C,N为顶点的四边形为平行四边形
则PC//AN,点P的纵坐标是-3
-3=x^2-2x-3
x(x-2)=0
x1=0,x2=2
则P(2,-3)
直线CN的斜率是(-3-0)/[0-(-3)]=-1
直线PA的斜率是(-3-0)/[2-(-1)]=-1
PA//CN
四边形PANC是平行四边形
存在这样的点P，点P的坐标是(2,-3)

(3)y=-x+3
令x=0
则y=3
D(0,3)
∠CBD是直角，EF过圆心G，EF是圆的直径
所以∠EAF也是直角，△AEF是直角三角形

Answer 3

很容易啊 答案别人已经给出了 我做过最难的是 湘潭的一道二次函数题

Answer 4

由对称性，可知（0，-3）与（2，-3a)关于x=1对称， 由此可得a的值为1,，再由对称轴为x=1可得b的值为-2,；
则m点的坐标为（1，-4） c(0，-3)