Question

已知函数f(x)=lnx (1)求函数g(x)=f(x+1)-x的最大值 （2）若对于任意x＞0，不等式f(x)≤ax≤x^2+1恒成立，

求实数a的取值范围

Answer 1

解1函数g(x)=f(x+1)-x
=ln(x+1)-x (x＞-1)
求导得g'(x)=1/(x+1)-x=(1-x(x+1))/(x+1)
=(-x^2-x+1)/(x+1)
令g'(x)=0
即-x^2-x+1=0
即x^2+x-1=0
解得x=(-1+√5)/2或x=(-1-√5)/2
故当x属于(-1,(-1+√5)/2)时，g'(x)＞0，此时g(x)在(-1,(-1+√5)/2)是增函数
当x属于((-1+√5)/2，正无穷大)时，g'(x)＜0，此时g(x)在((-1+√5)/2，正无穷大)是减函数
故当x=(-1+√5)/2时，
函数有最大值y=f((-1+√5)/2)=ln((1+√5)/2)-(-1+√5)/2.
2由对于任意x＞0，不等式f(x)≤ax≤x^2+1恒成立，
知当x＞0，由ax≤x^2+1
得a≤x+1/x
由x+1/x≥2√x×1/x=2
即a≤2
又由当x＞0时，lnx＜ax
即构造函数y=lnx-ax
当a=0时，y=lnx，知lnx-ax与0大小关系不定
当a＜0时，当x趋向正无穷大时，lnx-ax与0大小关系不定，
故a≤0时，不适合题意
当a＞0时
求导得y'=1/x-a=(1-ax)/x
令y'=0
即1-ax=0
即x=1/a
当x属于（0.1/a)时，y'=(1-ax)/x＞0
当x属于（1/a，正无穷大)时，y'=(1-ax)/x＜0
故当x=1/a时，y有最大值y=ln(1/a)-a×1/a=-lna-1
则由题知-lna-1≤0
即lna≥-1
即a≥1/e。
故综上知1/e≤a≤2