Question

对勾函数的值域公式。

Answer 1

对勾函数y=ax+b/x，a、b符号应该相同（同正同负），否则图形不是对勾。
只考虑a、b都大于0的情况，都小于0方法完全类似，而且最后的结果和都大于0一样，就不写了。
直接看出是奇函数，x>0时候用均值不等式y=ax+b/x≥(ax·b/x)^1/2=根号(ab)
x<0的时候直接-y=a(-x)+b/(-x)又都是正的了又可以用均值不等式了-y≥根号(ab)
所以y≤-根号(ab)
综上，值域是(-∞,-√ab]U[√ab,+∞)这就是值域公式。

追问

请问当x＜0 和 x＞0 是最值的关系式是怎么样的？

追答

在a、b都大于零的情况下讨论。不好意思！上面严重错误，值域表达式应该是
(-∞,-2√ab]U[2√ab,+∞)，那些不等式右端都少了个2，实在不好意思！
从值域表达式(-∞,-2√ab]U[2√ab,+∞)看在整个定义域上不可能有最值，因为可以到无穷。如果限定x在特定范围可能会有最值。
比如限定x>0的时候，对勾函数图像就是个勾，那个使得均值不等式等号成立的点ax=b/x
即x=√(b/a)的时候肯定是最小值。
限定x<0时候是对勾反过来的图象，那么使得不等式等号成立的x=-√(b/a)就是最大值点。

Answer 2