Question

设函数f(x)=x^2-alnx与g(x)=(1/a)x-√x的图像分别交直线x=1于点A、B,且曲线y=f(x)在点A处的切线与曲线

设函数f(x)=x^2-alnx与g(x)=(1/a)x-√x的图像分别交直线x=1于点A、B,且曲线y=f(x)在点A处的切线与曲线y=g(x)在点B处的切线平行。（斜率相等）。
（1）求实数a的值
（2）当a>1时，求函数h（x）=f（x）-g（x）的单调区间
（3）当a<1时，不等式f（x）≥m·g（x）在x属于[1/4，1/2]上恒成立，求实数m的取值范围

Answer 1

、f‘(x)=2x-a/x，g’(x)=1/a-1/(2√x)，切线平行f’(x)=g‘(x)，则：2-a=1/a-1/2，得：a=1/2或a=2，
f(x)=x^2-(lnx)/2或f(x)=x²-2lnx，g(x)=2x-√x或g(x)=x/2-√x；
2、当2x-a/x＞0，x²＞a/2时，f(x)=x^2-alnx为增函数，当1/a-1/(2√x)＞0，x＞a²/4时，g(x)=(1/a)x-√x为增函数，则a/2=(a²/4)²，a=2时，h‘(x)=f’(x)-g‘(x)=0，此时函数h(x)=f(x)-g(x)有最小值=3/2；
3、当a=1/2时，f’(x)=2x-1/2x，函数f(x)=x^2-(lnx)/2在x∈[1/4，1/2]是减函数，f(1/4)=1/16+ln2,f(1/2)=1/4+(ln2)/2；g’(x)=2-1/(2√x)，函数g(x)=2x-√x在x∈[1/4，1/2]是增函数，f(1/4)=0,f(1/2)=1-√2/2；m≤[1/4+(ln2)/2]/(1-√2/2)=1/2+√2/4+ln2+ln2*√2/2,实数m的取值范围：(-∞,1/2+√2/4+ln2+ln2*√2/2]。

Answer 2

①f(x的导数=2x-a/x，，g(x)的导数=1/a--(1/2)x^(-1/2)。因为在A..B切线的斜率相等所以f(1)的导数=g(1)的导数，所以2-a/1=1/a--(1/2)1^(-1/2)解的a=2或1/2，，，②因为a>1所以a=2所以h(x)=f(x)-g(x)=x^2-alnx-(1/a)x-√x所以h(x)的导数=2x-(2/x)-(1/2)+(1/2)/√x，我不会解你看答案解。③a<1∴a=1/2∴f(x)-mg(x)≥0在区间恒成立、还是要求导判断在区间的最小值≥0

Answer 3

f‘(x)=2x-a/x，g’(x)=1/a-1/(2√x)，切线平行f’(x)=g‘(x)，则：2-a=1/a-1/2，得：a=1/2或a=2，
f(x)=x^2-(lnx)/2或f(x)=x²-2lnx，g(x)=2x-√x或g(x)=x/2-√x；

Answer 4

1.求导可得1/a+a-5/2=0，a=2或1/2

Answer 5

A=1