Question

求解一道概率论的题目

设X1，X2，...,Xn是来自正态总体X~N（µ，σ^2）的简单随机样本，为使D=k∑(Xi+1-Xi)^2成为总体方差σ^2的无偏估计量，应选k=（）
A、1/(n-1) B、1/n C、1/2（n-1） D、1/2n
给详细点的解释好吗 谢谢了

Answer 1

每个Xi都有Xi~N（µ，σ^2）
所以E(Xi+1-Xi)^2 = E(Xi+1^2)-2E(Xi+1*Xi)+E(Xi^2)
E(X^2)=σ^2+E(x)^2=σ^2+u^2
上式化为E(Xi+1-Xi)^2 =(σ^2+u^2)-2u^2+(σ^2+u^2)=2σ^2
所以D=k∑(Xi+1-Xi)^2 = k(n-1)*2σ^2 = σ^2 (注意因为求和是i从1取到n-1，只有n-1项)
所以选C

Answer 2

选D，Xi+1~N（µ，σ^2),Xi~N（µ，σ^2）,Xi+1-Xi~N(0,2σ^2),(Xi+1-Xi)/(2σ^2)^1/2~N(0,1)

∑(Xi+1-Xi)^2/2σ^2~他方分布（n），E（∑(Xi+1-Xi)^2/2σ^2）=n，E（∑(Xi+1-Xi)^2）=2nσ^2

E（∑(Xi+1-Xi)^2）/2n=σ^2，所以K=1/2n

追问

确定吗 我老师给的答案是C 但是我不知道为什么