Question

已知函数y=f（x）的图象与函数y=ax（a＞0且a≠1）的图象关于直线y=x对称，记g（x）=f（x）[f（x）+2f（2

已知函数y=f（x）的图象与函数y=ax（a＞0且a≠1）的图象关于直线y=x对称，记g（x）=f（x）[f（x）+2f（2）-1]，若y=g（x）在区间[12，2]上是增函数，则实数a的取值范围是（　　）A．[2，+∞）B．（0，1）∪（1，2）C．[12，1）D．（0，12]

Answer 1

∵函数y=f（x）的图象与函数y=a^x（a＞0且a≠1）的图象关于直线y=x对称，
∴f（x）=log_ax（x＞0）．
g（x）=f（x）[f（x）+f（2）-1]=log_ax（log_ax+log_a2-1）
=(logax+

loga2?1

2

)2-

(loga2?1)2

4

，
①当a＞1时，y=log_ax在区间[

1

2

，2]上是增函数，∴log_ax∈[loga

1

2

，loga2]．
由于y=g（x）在区间[

1

2

，2]上是增函数，∴

1?loga2

2

≤loga

1

2

，化为log_a2≤-1，解得a≤

1

2

，应舍去．
②当0＜a＜1时，y=log_ax在区间[

1

2

，2]上是减函数，∴log_ax∈[loga2，loga

1

2

]．
由于y=g（x）在区间[

1

2

，2]上是增函数，∴

1?loga2

2

≥loga

1

2

，解得0＜a≤

1

2

．
综上可得：0＜a≤

1

2

．
故选：D．