Question

如图，已知抛物线l 1 ：y=x 2 -4的图象与x轴相交于A、C两点，B是抛物线l 1 上的动点（B不与A、C重合），

如图，已知抛物线l 1 ：y=x 2 -4的图象与x轴相交于A、C两点，B是抛物线l 1 上的动点（B不与A、C重合），抛物线l 2 与l 1 关于x轴对称，以AC为对角线的平行四边形ABCD的第四个顶点为D。（1）求l 2 的解析式；（2）求证：点D一定在l 2 上；（3）□ABCD能否为矩形？如果能为矩形，求这些矩形公共部分的面积（若只有一个矩形符合条件，则求此矩形的面积）；如果不能为矩形，请说明理由。注：计算结果不取近似值。

Answer 1

解：（1）设l 2 的解析式为y=ax 2 +bx+c（a≠0）， ∵l 1 与x轴的交点为A（-2，0），C（2，0）， 顶点坐标是（0，-4），l 2 与l 1 关于x轴对称， ∴l 2 过A（-2，0），C（2，0），顶点坐标是（0，4）， ∴ ，∴a=-1，b=0，c=4， 即l 2 的解析式为y=-x 2 +4； （2）设点B（m，n）为l 1 ：y=x 2 -4上任意一点，则n=m 2 -4（*） ∵四边形ABCD是平行四边形，点A、C关于原点O对称， ∴B、D关于原点O对称， ∴点D的坐标为D（-m，-n） 由（*）式可知，-n=-（m 2 -4）=-（-m） 2 +4， 即点D的坐标满足y=-x 2 +4， ∴点D在l 2 上； （3）□ABCD能为矩形； 过点B作BH⊥x轴于H，由点B在l 1 ：y=x 2 -4上， 可设点B的坐标为（x 0 ，x 0 2 -4）， 则OH=|x 0 |，BH=|x 0 2 -4|， 易知，当且仅当BO=AO=2时，□ABCD为矩形， 在Rt△OBH中，由勾股定理得，|x 0 | 2 +|x 0 2 -4| 2 =2 2 ，（x 0 2 -4）（x 0 2 -3）=0， ∴x 0 =±2（舍去）、x 0 =± ， 所以，当点B坐标为B（ ，-1）或B′（- ，-1）时，□ABCD为矩形， 此时，点D的坐标分别是D（- ，1）、D′（ ，1）， 因此，符合条件的矩形有且只有2个，即矩形ABCD和矩形AB′CD′， 设直线AB与y轴交于E，显然，△AOE∽△AHB， ∴ ， ∴ ， ∴EO=4-2 ， 由该图形的对称性知矩形ABCD与矩形AB′CD′重合部分是菱形， 其面积为S=2S ΔACE = 。