Question

已知圆C的圆心为原点O，且与直线 x+y+4 2 =0 相切．（1）求圆C的方程；（2）点P在直线x=8上

已知圆C的圆心为原点O，且与直线 x+y+4 2 =0 相切．（1）求圆C的方程；（2）点P在直线x=8上，过P点引圆C的两条切线PA，PB，切点为A，B，求证：直线AB恒过定点．

Answer 1

（本小题满分14分） （1）依题意得：圆心（0，0）到直线 x+y+4 2 =0 的距离d=r， ∴d= r= 4 2 1+1 =4 ，---（2分） 所以圆C的方程为x 2 +y 2 =16①；-----（4分） （2）连接OA，OB， ∵PA，PB是圆C的两条切线， ∴OA⊥AP，OB⊥BP，------（5分） ∴A，B在以OP为直径的圆上，-------（6分） 设点P的坐标为（8，b），b∈R， 则线段OP的中点坐标为 (4， b 2 ) ，------（8分） ∴以OP为直径的圆方程为 (x-4 ) 2 +(y- b 2 ) 2 = 4 2 +( b 2 ) 2 ，b∈R ，-----（10分） 化简得：x 2 +y 2 -8x-by=0②，b∈R，------（11分） ∵AB为两圆的公共弦， ∴①-②得：直线AB的方程为8x+by=16，b∈R，即8（x-2）+by=0，------（13分） 则直线AB恒过定点（2，0）．-------（14分）