Question

已知抛物线y2=-x与直线y=k（x+1）相交于A、B两点．（1）求证：以AB为直径的圆过坐标系的原点O；（2）当△

已知抛物线y2=-x与直线y=k（x+1）相交于A、B两点．（1）求证：以AB为直径的圆过坐标系的原点O；（2）当△OAB的面积等于10时，求k的值．

Answer 1

（1）证明：由题意可得方程组

y2＝?x y＝k(x+1)

，
消去x可得ky²+y-k=0，
设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）由韦达定理可得y₁?y₂=-1，
∵A、B在抛物线y²=-x上，
∴y₁²=-x₁，y₂²=-x₂，y₁²y₂²=x₁x₂，
∵k_OA?k_OB=

y1y2

x1x2

=

1

y1y2

=-1；
∴OA⊥OB，
故以AB为直径的圆过坐标系的原点O．
（2）解：设直线与x轴交于N，又k≠0，
∴令y=0，则x=-1，即N（-1，0），
∵S_△OAB=S_△OAN+S_△ONB
=

1

2

?|ON|?|y1|+

1

2

?|ON|?|y2|
=

1

2

|ON|?|y1?y2|，
∴S_△OAB=

1

2

×1×

(y1+y2)2?4y 1y2

=

1

2

?

( 1 k )2+4

=

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