Question

已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，点O1在⊙O2上，C为⊙O2上一点（不与A，B，O1重合），直线CB与⊙O1交于另

已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，点O1在⊙O2上，C为⊙O2上一点（不与A，B，O1重合），直线CB与⊙O1交于另一点D．（1）如图（1），若AD是⊙O1的直径，AC是⊙O2的直径，求证：AC=CD；（2）如图（2），若C是⊙O1外一点，求证：O1C丄AD；（3）如图（3），若C是⊙O1内的一点，判断（2）中的结论是否成立？

Answer 1

（1）证明：连接C0₁
∵AC为⊙O₂直径
∴∠AO₁C=90°
即CO₁⊥AD，
∵AO₁=DO₁
∴DC=AC（垂直平分线的性质）；

（2）证明：连接AO₁，连接AB，延长AO₁交⊙O₁于点E，连接ED，
∵四边形AEDB内接于⊙O₁，
∴∠E+∠ABD=180°，
∵∠ABC+∠ABD=180°，
∴∠ABC=∠E，
又∵

AC

=

AC

，∴∠ABC=∠AO₁C，
∴∠E=∠AO₁C，
∴CO₁∥ED，
又AE为⊙O₁的直径，∴ED⊥AD，
∴O₁C⊥AD，

（3）（2）中的结论仍然成立．
证明：
连接AO₁，连接AB，延长AO₁交⊙O₁于点E，连接ED，
∵∠B+∠AO₁C=180°，∠EO₁C+∠AO₁C═180°，
∴∠B=∠EO₁C，
又∵∠E=∠B，
∴∠EO₁C=∠E，
∴CO₁∥ED，又ED⊥AD，
∴CO₁⊥AD．