Question

知识回顾：（1）如图1，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、BC、AC的中点，我们把△DEF称为△ABC的中点三角

知识回顾：（1）如图1，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、BC、AC的中点，我们把△DEF称为△ABC的中点三角形．则S△DEF：S△ABC=______；（2）如图2，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，我们把四边形EFGH称为正方形ABCD的中点四边形，此时四边形EFGH的形状是______，S四边形EFGH：S四边形ABCD=______；（3）实践探究：如图3，在正五边形ABCDE中，若点F、G、H、M、N分别是边AB、BC、CD、DE、EA的中点，则中点五边形FGHMN的形状是______；若正五边形ABCDE的中心为点O，连接OE、ON，求S五边形FGHMN：S五边形ABCDE的值．（4）拓展归纳：在正n边形A1A2 …An中，若点B1、B2 …Bn分别是边A1A2、A2A3、…、AnA1的中点，则中点n边形B1B2 …Bn的面积与正n边形A1A2 …An的面积之比为Sn边形B1B2…Bn：Sn边形A1A2…An=______．

Answer 1

（1）1：4；（1分）
（2）正方形；1：2；（3分）
（3）实践探究：正五边形．（4分）
解：设OE交NM于点K，则可得∠ONE=90°，∠OKN=90°，
又∵∠NOE为公共角，
∴△KON∽△NOE．
设△KON的面积为S₁，△NOE的面积为S₂，
则

S1

S2

＝(

ON

OE

)2．（6分）
∵∠OEN＝

1

2

∠MEN=

1

2

×

(5?2)×180°

5

＝54°，
∴∠EON=36°．
∴

S1

S2

＝(

ON

OE

)2=sin²54°（或cos²36°）．
∴S_{五边形FGHMN}：S_{五边形ABCDE}=S₁：S₂=sin²54°（或cos²36°）（8分）
（4）拓展归纳：S_{n边形B1B2Bn}：S_{n边形A1A2An=}sin2[

90(n?2)

n

]°（或cos2(

180

n

)°）（10分）