Question

设f（x）是定义在R+上的函数，并且对任意的正实数x、y，恒有f（xy）=f（x）+f（y）成立，求证：（1）f（1

设f（x）是定义在R+上的函数，并且对任意的正实数x、y，恒有f（xy）=f（x）+f（y）成立，求证：（1）f（1）=0；（2）f(1x)＝?f(x)；（3）若x，y∈R+，则f(xy)＝f(x)?f(y)．

Answer 1

（1）在f（xy）=f（x）+f（y）中令x=y=1得：
f（1）=f（1）+f（1）
∴f（1）=0．
（2）在f（xy）=f（x）+f（y）中令y=

1

x

得：
f（1）=f（x）+f（

1

x

）
∵f（1）=0，
∴f(

1

x

)＝?f(x)；
（3）由f（xy）=f（x）+f（y）得：
f（

x

y

）+f（y）=f（

x

y

×y），即f（

x

y

）+f（y）=f（x）
∴f(

x

y

)＝f(x)?f(y)．