Question

已知抛物线y=x2-2x+m-1与x轴只有一个交点，且与y轴交于A点，如图，设它的顶点为B．（1）求m的值；（2）点

已知抛物线y=x2-2x+m-1与x轴只有一个交点，且与y轴交于A点，如图，设它的顶点为B．（1）求m的值；（2）点C在抛物线上，若△ABC是直角三角形，直接写出C的坐标：______．

Answer 1

解答：解：（1）∵抛物线与x轴只有一个交点，
∴△=（-2）²-4（m-1）=0，
解得m=2．
故m的值为2；

（2）∵抛物线的解析式是y=x²-2x+1，
∴A（0，1），B（1，0），
∴AB的解析式为y=-x+1．
①∠ABC=90°，BC的解析式为y=x-1，则有

y＝x?1 y＝x2?2x+1

，解得

x1＝1 y1＝0

（不合题意舍去），

x2＝2 y2＝1

，所以C的坐标为（2，1）；
②∠BAC=90°，AC的解析式为y=x+1，则有

y＝x+1 y＝x2?2x+1

，解得

x1＝0 y1＝1

（不合题意舍去），

x2＝3 y2＝4

，所以C的坐标为（3，4）；
③∠ACB=90°，以AB为直径作圆，除了A、B点外，圆与抛物线的无交点．
综上可知C的坐标为：（2，1）或（3，4）．
故答案为：（2，1）或（3，4）．