Question

已知函数f（x）=ex（x2+ax+b）的图象在x=0处的切线方程为y=3，其中有e为自然对数的底数．（1）求a，b的值

已知函数f（x）=ex（x2+ax+b）的图象在x=0处的切线方程为y=3，其中有e为自然对数的底数．（1）求a，b的值；（2）当-2＜x＜t时，证明f（t）＞13e2；（3）对于定义域为D的函数y=g（x）若存在区间[m，n]?D时，使得x∈[m，n]时，y=g（x）的值域是[m，n]．则称[m，n]是该函数y=g（x）的“保值区间”．设h（x）=f（x）+（x-2）ex，x∈（1，+∞），问函数y=h（x）是否存在“保值区间”？若存在，求出一个“保值区间”，若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）f（x）=e^x（x²+ax+b），f′（x）=e^x（x²+（a+2）x+b+a）；

f′(0)＝0 f(0)＝3

，
解得，a=-3，b=3；
（2）证明：f′（x）=e^x（x²-x）＞0；
则x∈（-∞，0）∪（1，+∞），
故f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上是增函数，
在（0，1）上是减函数，
又∵f（-2）=

13

e2

＜f（1）=e；
∴t＞-2时，f（t）＞

13

e2

，
（3）由题意，h（x）=f（x）+（x-2）e^x=e^x（x²-2x+1），x∈（1，+∞），
h′（x）=e^x（x²-1）＞0，
则h（x）在（1，+∞）单调递增，
设存在[m，n]，
则

em(m?1)2＝m en(n?1)2＝n

即方程x+

1

x

-

1

ex

-2=0在（1，+∞）存在两个根，
构建d（x）=x+

1

x

-

1

ex

-2在（1，+∞）存在两个零点．
又d′（x）=

x2?1

x2

+

1

ex

＞0，
∴d（x）=x+

1

x

-

1

ex

-2在（1，+∞）上单调递增，
又∵d（1）＜0，d（3）＞0；
∴存在（1，3）之内只有一个实数根，
因此不存在如题所述的“保值区间”．