Question

已知函数y=2x?1x+1（1）求函数的定义域；（2）试判断函数在（-1，+∞）上的单调性，并给予证明；（3）求

已知函数y=2x?1x+1（1）求函数的定义域；（2）试判断函数在（-1，+∞）上的单调性，并给予证明；（3）求函数在x∈[3，5]的最大值和最小值．

Answer 1

（1）∵函数y=

2x?1

x+1

，x+1≠0；
∴x≠-1，
∴函数的定义域是{x|x≠-1}；
（2）∵y=f（x）=

2x?1

x+1

=2-

3

x+1

，
∴函数f（x）在（-1，+∞）上是增函数，
证明：任取x₁，x₂∈（-1，+∞），且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=（2-

3

x1+1

）-（2-

3

x2+1

）
=

3

x2+1

-

3

x1+1

=

3(x1?x2)

(x1+1)(x2+1)

，
∵-1＜x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，（x₁+1）（x₂+1）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（-1，+∞）上是增函数；
（3）∵f（x）在（-1，+∞）上是增函数，
∴f（x）在[3，5]上单调递增，
它的最大值是f（5）=

2×5?1

5+1

=

3

2

，
最小值是f（3）=

2×3?1

3+1

=

5

4

．