Question

（2007?朝阳区一模）如图，棱长为1的正四面体ABCD中，E、F分别是棱AD、CD的中点，O是点A在平面BCD内的射

（2007?朝阳区一模）如图，棱长为1的正四面体ABCD中，E、F分别是棱AD、CD的中点，O是点A在平面BCD内的射影．（Ⅰ）求直线EF与直线BC所成角的大小；（Ⅱ）求点O到平面ACD的距离；（Ⅲ）求二面角E-BE-F的大小．

Answer 1

解答：解：（Ⅰ）因为E、F分别是棱AD、CD的中点，
所以EF∥AC．
所以∠BCA是EF与BC所成角．
∵正四面体ABCD，∴△ABC为正三角形，
所以∠BCA=60°．
即EF与BC所成角的大小是60°．
（II）如图，连接AO，AF，
因为F是CD的中点，
且△ACD，△BCD均为正三角形，
所以BF⊥CD，AF⊥CD．
因为BF∩AF=F，
所以CD⊥面AFB．
因为CD?在ACD，
所以面AFB⊥面ACD．
因为ABCD是正四面体，且O是点A在面BCD内的射影，
所以点O必在正三角形BCD的中线BF上，
在面ABF中，过O做OG⊥AF，垂足为G，
所以OG⊥在ACD．
即OG的长为点O到面ACD的距离．
因为正四面体ABCD的棱长为1，
在△ABF中，容易求出AF=BF=

3

2

，OF=

3

6

，AO=

6

3

，
因为利用相似比易求出OG=

6

9

．
所以点O到平面ACD的距离是

6

9

．
（Ⅲ）连接OD，设OD的中点为K，连EK，
则EK∥AO．
因为AO⊥面BCD，
所以EK⊥面BCD．
在平在BCD内，过点K作KN∥CD，KN交BF
于M，交BC于N，
因为BF⊥CD，
所以KN⊥BF．
连接EM，
所以EM⊥BF．
所以∠NME是所求二面角的平面角．
因为EK=

1

2

CH=

1

2

?

6

3

＝

6

6

，
MK=

1

2

ED=

1

4

AD=

1

4

，
所以tan∠EMK＝

FK

MK

＝

2 6

3

．
所以tan∠NME＝tan(π?∠EMK)＝?

2 6

3

．
所以所求二面角的大小为π?arctan

2 6

3

．