Question

高中椭圆数学题 求老师解答

已知函数f（x）=alnx+x2，（a为常数）
（1）若a=-2，求证：f（x）在（1，+∞）上是增函数；
（2）若存在x∈[1，e]，使f（x）≤（a+2）x，求a的取值范围．
我所说的是第2问
为什么不能通过求fx的最大值 然后令a+2 x的最小值大于他呢 我求过了 a无解
我通过老师们的方法 移过去算了求导出导数=0时 算出x=1 x=2分之a 但我看答案说 构造出来的
gx最小值 需要小于等于0为什么不是最大值？？ 还有x=2分之a小于等于1 和大于1都要讨论 x不是在1 到e之间吗 为什么还要讨论？

Answer 1

应该存在 x∈[1，e]，使得f(x)-(a+2)x ≤ 0，
所以应该求在[1，e]， 求出g(x)=f(x)-(a+2)x 最小值，只需要最小值小于零，就行了。如此求出a的范围。
而不是求f(x)的最大值 ，而且不应该将左右两边分开讨论，因为左边取极值时，右边不一定取极值。

“构造出来的gx最小值 需要小于等于0为什么不是最大值？”
题意是说存在x∈[1，e]，使f（x）≤（a+2）x 或g(x)= f(x)-(a+2)x ≤ 0，也即说只要有一个x，使得不等式满足即可，所以只需求最小值。
“还有x=2分之a小于等于1 和大于1都要讨论 x不是在1 到e之间吗 为什么还要讨论？”
得分析极值情况，确定g(x)的最小值点。显然，如果x=2分之a ≤ 1，那么1为极小值，所以最小值x=1
而1≤ 2分之a，那么1为极大值点，2分之a为极小值点，得分析x=e处的值，和x=2分之a的值，如果 2分之a ∈[1，e]。

Answer 2

第一问求导就不说了。对于第二问：
你要知道这个1、2问的a没有联系的，这个a是未知数左右两边同时满足的。所以对于第二问必须同时求导之类的方法。你的想法的错误在于你把a分开看了，对于其他问题可以考虑这个思想。

追问

移过去算了求导出导数=0时 算出x=1 x=2分之a 但我看答案说 构造出来的
gx最小值 需要小于等于0为什么不是最大值？？ 还有x=2分之a小于等于1 和大于1都要讨论 x不是在1 到e之间吗 为什么还要讨论？

Answer 3

第二问原因是因为，当f（x）取得最大值的时候的x与（a+2）x的x不是同一个x
教你怎么做。把x除过来，就是分离变量法，转化为恒成立问题，具体自己去算，
希望采纳给分

Answer 4

求出g(x)=f(x)-(a+2)x 最大值