Question

圆C:x²+y²-x+6y+F=0与直线l：x+2y-3=0交于两点P,Q,且OP⊥OQ,求F的值

Answer 1

圆C:x²+y²-x+6y+F=0与直线l：x+2y-3=0交于两点P,Q,且OP⊥OQ,求F的值
【解】心法：圆C与直线l交于两点P,Q,且OP⊥OQ，这说明半径OP、OQ和弦PQ组成一个等腰直角三角形，而圆心到直线l：x+2y-3=0的距离d是这个等腰直角三角形斜边上的高。由于圆心可求，直线方程已知，所以这个高也可求。又由于半径OP、OQ中有F，而且d=OP*sin45，所以解此方程可以求得F。
算法：将圆C:x²+y²-x+6y+F=0配方为：(x-1/2 )²+(y+3 )²-37/4+F=0
所以：圆心坐标为：（1/2，-3）半径OP²=37/4-F
求圆心到直线L的距离d：d=|1/2-6-3|/√5=17/(2√5)
由d=OP*sin45，则d²=(1/2)OP²，代入计算：F=-26/5
【OK】