Question

如图所示，AB是圆心O的直径，∠BAC=30°，M是OA上的一点，过M作AB的垂线交AC于点N，交BC的延长线于点E

（接）直线CF交EN于点N，交BC的延长线于点E，直线CF交EN于点F，∠ECF=∠E。
（1）证明：CF是圆心O的切线；
（2）设圆心O的半径为1，且AC=CE，求MO的长.
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Answer 1

解：
1）连CO
因为AB为直径
所以∠ACB=∠ECA=90
因为∠BAC=30
所以∠ANM=60
所以∠ENC=60
所以∠NEC=30
因为∠CEN=∠FCE
所以∠FCN=90-∠ECF=90-30=60
因为OA=OC
所以∠ACO=∠CA0=30
所以∠OCF=∠OCA+∠FCA=90
所以CFs是圆的切线
2）因为圆心O的半径为1，
所以AB=2，BC=AB/2=1，
因为AC=EC
所以△ABC≌△ECN
所以CN=CB=1，
所以AN=AC-NC=根号3-1
在直角三角形AMN中，AM=AN*cos30=(3-根号3）/2
所以OM=OA-AM=1-(3-根号3）/2=(根号3-1）/2

Answer 2

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