Question

过抛物线y 2 =4x的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点．（1）求AB的中点C到抛物线准线的距离；

过抛物线y 2 =4x的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点．（1）求AB的中点C到抛物线准线的距离；（2）求线段AB的长．

Answer 1

（1）抛物线y 2 =4x的焦点坐标为（1，0），准线方程为x=-1， 直线AB的方程为y=x-1， 设点A（x 1 ，y 1 ）、B（x 2 ，y 2 ）． 将y=x-1代入y 2 =4x得x 2 -6x+1=0． 则x 1 +x 2 =6，x 1 ?x 2 =1． 故中点C的横坐标为3． 所以中点C到准线的距离为3+1=4． （2）∵|AB| 2 =（x 1 -x 2 ） 2 +（y 1 -y 2 ） 2 =（x 1 -x 2 ） 2 +[（x 1 -1）+（x 2 -1）] 2 =2（x 1 -x 2 ） 2 =2[（x 1 +x 2 ） 2 -4x 1 x 2 ]=2（36-4）=64 ∴|AB|=8．