Question

设函数f(x)＝lnx+12ax2?2bx．（Ⅰ）当a=-3，b=1时，求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）令F(x)＝f(x)?12ax2+2bx

设函数f(x)＝lnx+12ax2?2bx．（Ⅰ）当a=-3，b=1时，求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）令F(x)＝f(x)?12ax2+2bx+ax（12≤x≤3），其图象上存在一点P（x0，y0），使此处切线的斜率k≤12，求实数a的取值范围；（Ⅲ）当a=0，b＝?12，m＞1时，方程f（x）=mx有唯一实数解，求m的值．

Answer 1

（Ⅰ）依题意，f（x）的定义域为（0，+∞），
当a=-3，b=1时，f(x)＝lnx?

3

2

x2?2x，f′(x)＝

1

x

?3x?2＝

1?3x2?2x

x

…（2分）
由 f'（x）＞0，得3x²+2x-1＜0，解得?1＜x＜

1

3

；由 f'（x）＜0，得3x²+2x-1＞0，解得x＞

1

3

或x＜-1．
∵x＞0，∴f（x）在(0，

1

3

)单调递增，在(

1

3

，+∞)单调递减；
所以f（x）的极大值为f(

1

3

)＝?ln3?

5

6

，此即为最大值…（4分）
（Ⅱ）F(x)＝lnx+

a

x

，x∈[

1

2

，3]，则有k＝F′(x0)＝

x0?a

x02

≤

1

2

，在x0∈[

1

2

，3]上有解，
∴a≥(?

1

2

x

2 0

+x0)min，x0∈[

1

2

，3]…（6分）
∵?

1

2

x02+x0＝?

1

2

(x0?1)2+

1

2

，
所以 当x₀=3时，?

1

2

x

2 0

+x0取得最小值?

9

2

+3＝?

3

2

，∴a≥?

3

2

…（8分）
（Ⅲ）因为方程f（x）=mx有唯一实数解，所以lnx+x-mx=0有唯一实数解，…（9分）
设g（x）=lnx+x（1-m），则

已赞过 已踩过<

你对这个回答的评价是？

评论 收起