Question

已知函数f（x）对任意x∈R满足f（x）+f（-x）=0，f（x-1）=f（x+1），若当x∈[0，1）时，f（x）=ax+b（a

已知函数f（x）对任意x∈R满足f（x）+f（-x）=0，f（x-1）=f（x+1），若当x∈[0，1）时，f（x）=ax+b（a＞0且a≠1），且f(32)＝12．（1）求实数a，b的值；（2）求函数g（x）=f2（x）+f（x）的值域．

Answer 1

（1）∵f（x）+f（-x）=0
∴f（-x）=-f（x），即f（x）是奇函数．
∵f（x-1）=f（x+1），∴f（x+2）=f（x），即函数f（x）是周期为2的周期函数，
∴f（0）=0，即b=-1．
又f(

3

2

)＝f(?

1

2

)＝?f(

1

2

)＝1?

a

＝

1

2

，
解得a＝

1

4

．
（2）当x∈[0，1）时，f（x）=a^x+b=（

1

4

）^x-1∈（-

3

4

，0]，
由f（x）为奇函数知，
当x∈（-1，0）时，f（x）∈（0，

3

4

），
∴当x∈R时，f（x）∈（-

3

4

，

3

4

），
设t=f（x）∈（-

3

4

，

3

4

），
∴g（x）=f²（x）+f（x）=t²+t=（t-

1

2

）²-

1

4

，
即y=（t-

1

2

）²-

1

4

∈[-

1

4

，

21

16

）．
故函数g（x）=f²（x）+f（x）的值域为[-

1

4

，

21

16

）．