Question

已知数列{an}满足a2=2，Sn为其前n项和，且Sn=an(n+1)2（n=1，2，3，…）．（Ⅰ）求a1的值；（Ⅱ）求证：a

已知数列{an}满足a2=2，Sn为其前n项和，且Sn=an(n+1)2（n=1，2，3，…）．（Ⅰ）求a1的值；（Ⅱ）求证：an=nn?1an-1（n≥2）；（Ⅲ）判断数列{an}是否为等差数列，并说明理由．

Answer 1

解答：（共13分）
（Ⅰ）解：由题意知：S2＝

3a2

2

，即a1+a2＝

3a2

2

．
所以 a₂=2a₁．…（2分）
因为 a₂=2，
所以 a₁=1．…（3分）
（Ⅱ）证明：因为 Sn＝

an(n+1)

2

(n＝1，2，3，…)，
所以 Sn?1＝

an?1(n?1+1)

2

（n≥2）．…（4分）
因为 a_n=S_n-S_n-1，…（6分）
所以 an＝

(n+1)an?nan?1

2

，即（n-1）a_n=na_n-1．
因为 n≥2，
所以 an＝

n

n?1

an?1．…（8分）
（Ⅲ）解：数列{a_n}是等差数列．
理由如下：…（9分）
由（Ⅱ）得：

an

n

＝

an?1

n?1

(n＝2，3，4，…)．
所以 

an

n

＝a1＝1(n≥2)，即a_n=n（n≥2）．…（11分）
由（Ⅰ）知：a₁=1，所以 a_n=n（n≥1）．
所以 数列{a_n}是以1为首项，1为公差的等差数列．…（13分）