Question

怎么证明函数在某区间的可导性

现有一函数f(x)=x² (3 - 2 ln(x)) / 2 + 1 求证该函数在区间[0,+∞[内是可导的。
我是根据可导性的定义来证明，即求极限lim[f(x+h)-f(x)]/h 当h→0
可是h在分母那无法去掉。。。而且式子也很长，让我不确定这思路对不对。。
求教大家该怎么证明？
题目是：

使f (0) = 1
f (x) =x² (3 - 2 ln(x)) / 2 + 1
真的是在[0，+∞[间求可导性。。。我没有打错，接下来的题目才是求当x＞0时的导数式子

Answer 1

其实题目等价于证明x²ln(x)可导 只需要求lim[(x+h)²ln(x+h)-(x)²ln(x)]/h 存在就行了～～
x² ln（1+h/x）/h+2xln（x+h）+hln（x+h）=x²ln（1+h/x）/h+2xln（x）
证明x²ln（1+h/x）/h极限存在要用到一个定理（1+x）^(1/x)=e(x->0)
然后就出来了～～求采纳～～

追问

你好，你的方法很棒，式子变的简单多了。可还是同样的问题，x2ln（1+h/x）/h这个的极限我求不出来。。。能不能麻烦你详细的说一下，谢谢你啦，我在线等。

追答

x2ln（1+h/x）/h=xln(1+h/x)^(x/h)
h/x趋近于0 所以ln(1+h/x)^(x/h)趋近于e

追问

我觉得我快脑残了，h/x趋近于0，这点没问题，这样的话1+h/x就是趋近于1，那(1+h/x)^(x/h)不就是相当于1^(x/h) ，那还是1啊为什么变成e了？

追答

这是最基本的知识 你百度下“两个重要极限”就知道了

追问

ok 既然是基本定理，那直接应用就可以了，不需要证明了。
谢谢你啦，很耐心~

Answer 2

我想是你区间打错了?(0,+∞)打成[0,+∞)了?
用定义证可导的想法是对的
分子耐心些化简可以把分母的h约掉

Answer 3

函数在x=0处无定义，即不连续，所以在x=0处必不可导。难道你题目打错了？

追问

我知道因为ln(x) x≠0
但问题就是这么提的，这是题1，题2是求当x＞0时的导数

Answer 4

当x=0是函数f(x)没有意义啊