Question

定义在﹙0，正无穷）上的函数f（x），对于任意的m，n∈﹙0，﹢∞），

定义在﹙0，正无穷）上的函数f（x），对于任意的m，n∈﹙0，﹢∞），都有f（mn）=f（m）＋f（n）成立，当x＞1时，f（x）＜0
（1）求证：1是函数f（x）的零点
（2）当f（2）=1/2，解不等式f（ax＋4）＞1

Answer 1

(1)
f(1*1)=f(1)+f(1)=2f(1)=f(1) 可得f(1)=0
(2)
对任意的m∈﹙0，﹢∞），有f(m*(1/m))=f(1)=f(m)+f(1/m)=0 可知f(m)=-f(1/m)
对任意的x1,x2∈﹙0，﹢∞），设x1<x2 因为当x>1时，f(x)<0,所以 则f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(1/x1)=f(x2/x1)<0,即f(x)单调递减。
f(2)=1/2 f(4)=f(2)+f(2)=1 不等式转化为ax+4<4 ax<0 因为x>0 所以a<0

Answer 2

(1) m=n=1 f(1)=f(1)+f(1) f(1)=0 1是零点
（2）叙述有问题，前面说的是当x＞1时，f（x）＜0，但f（2）=1/2>0
是不是应该是x＞1时，f（x）>0
f(2)=1/2
f(4)=f(2)+f(2)=1
又对任何x>4 有 f(x)=f(4)+f(x/4) 因为f(x/4)>0 所以有f(x)>f(4)=1
任何0<x<4 有f(4)=f(x)+f(4/x) 因为f(4/x)>0 所以有f(x)<f(4)=1
所以f(ax+4)>1 的解为 ax+4>4 ax>0
若a>0 解为x∈﹙0，﹢∞）
若a=0或a<0 无解

Answer 3

应该可以看懂。如果有问题，再联系。