Question

已知：如图，△ABC中，AB=AC=6， cosB=13，⊙O的半径为OB，圆心在AB上，且分别与边AB、BC相交于D、E两点，

已知：如图，△ABC中，AB=AC=6， cosB=1/3，⊙O的半径为OB，圆心在AB上，且分别与边AB、BC相交于D、E两点，但⊙O与边AC不相交，又EF⊥AC，垂足为F．设OB=x，CF=y．
（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）设OB=x，CF=y．
①求y关于x的函数关系式；
②当直线DF与⊙O相切时，求OB的长．

Answer 1

1)相切
作OH垂直于BC，OB=OE=半径，AB=AC，故∠OBE=∠OEB=∠ACB，且OH垂直于BC，EF⊥AC可得∠OEF=90°
2）①△OHE相似于△EFC，又 cosB=1/3，AB=AC=6，得BC=4，列式x/3:y=x:4-2/3x，解得y=4/3-2/9x
②AD=6-2x，AF=6-y，相切得AD^2+DF^2=AF^2，将y=2/3-2/9x，AD=6-2x，AF=6-y代入算出即可

追问

请解完

追答

第三问换个简单点的方法吧。
∠OEF=90°，直线DF与⊙O相切，得∠ODF=∠OEF=90°，又因OD=OE=半径，OF=OF，得△ODF与△OEF全等，推知OF垂直平分DE，加之∠DEB=90°，DO=OB，∠BDE=∠BDE，得OF平行于BC。加之∠B=∠C，推出四边形OBCF为等腰梯形，即OB=FC（x=y），代入y=4/3-2/9x，即y=4/3-2/9x=x，解得x=11/12=OB。

Answer 2

（1）EF是⊙O的切线
因为OB、OE为⊙O的半径
所以OB=OE
所以∠OBE=∠OEB
因为AB=AC
所以三角形ABC为等腰三角形
所以∠ABC=∠ACB
所以∠OEB=∠ACB
所以OE//AC
因为EF⊥AC
所以EF⊥OE
所以EF是⊙O的切线
（2）y=-2x/9+4/3
最后一问没做出来，不好意思

Answer 3

（1）因为OB=OE,所以∠B=∠OEB,又因为AB=AC,所以∠B=∠C，所以∠OEB=∠C所以OE//AC
因为EF⊥AC,所以OE⊥EF,所以EF与⊙O相切
（2）①连接DE,则BD=2X,BE=BD*COSB=(2/3)X,BC=2*6*COSB=4,EC=Y/COSC=3Y
所以(2/3)X+3Y=4,即2X+9Y=12
②当直线DF与⊙O相切时,OE=OD,OF=OF,EF=DF,所以三角形ODF全等于三角形OEF
所以∠DOF=∠EOF所以∠B=∠DOF所以OF//BC所以X=Y,所以11X=12所以X=12/11即OB=12/11

Answer 4

(1)相切。
OB=OE,故∠OBE=∠OEB=∠ACB，EF⊥AC,则EF⊥OE，故相切。
(2)
①AB=AC=6
cosB=1/3
故BC=4,BE=2/3x,EC=4-2/3x,CF=1/3(4-2/3x)=4/3-2/9x，所以y=4/3-2/9x
②cosB=1/3,sin(A/2)=1/3,cosA=1-2*1/9=7/9
AD/AF=cosA,即6-2x/(6-4/3+2/9x)=7/9,x=12/11
高中毕业10年了，还是没有忘记啊！！！！！！

Answer 5

(1)相切。
OB=OE,故∠OBE=∠OEB=∠ACB，EF⊥AC,则EF⊥OE，故相切。
(2)
①AB=AC=6
cosB=1/3
故BC=4,BE=2/3x,EC=4-2/3x,CF=1/3(4-2/3x)=4/3-2/9x，所以y=4/3-2/9x
②cosB=1/3,sin(A/2)=1/3,cosA=1-2*1/9=7/9
AD/AF=cosA,即6-2x/(6-4/3+2/9x)=7/9,x=12/11