已知：如图，△ABC中，AB=AC=6， cosB=13，⊙O的半径为OB，圆心在AB上，且分别与边AB、BC相交于D、E两点，
（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）设OB=x，CF=y．
①求y关于x的函数关系式；
②当直线DF与⊙O相切时，求OB的长． 展开
解：（1）直线EF与⊙O相切
理由：如图①，连接OE，则OE=OB，∠OBE=∠OEB．
∵AB=AC，
∴∠OBE=∠C．
∴∠OEB=∠C．
∴OE∥AC．
∵EF⊥AC，
∴EF⊥OE．
∵点E在⊙O上，
∴EF是⊙O的切线．
（2）①如图②，作AH⊥BC，H为垂足，并连接OE，那么BH= 1/2BC，
∵AB=6， cosB=13，
∴BH=2，BC=4．
∵OE∥AC，
∴△BOE∽△BAC．
∴ BEBC=OEAC．
即 BE4=x6．
∴BE= 2x3．
∴ EC=4-23x．
在Rt△ECF中， cosC=cosB=13，
∴ CF=EC•cosC=(4-23x)•13．
∴所求函数的关系式为 y=43-29x．
②如图③，连接OE，DE，OF，由EF、DF与⊙O相切，
∴FD=FE，且∠DFO=∠EFO．
∴OF垂直平分DE．
∵∠DEB=90°，
∴BC⊥DE．
∴OF∥BC．
∴四边形OBCF是等腰梯形．
∴OB=CF，得 43-29x=x．
解得： x=12/11．
即OB= 12/11．
不好意思 有些分号没给你打出来
注：“/”是分数线
Ⅰ;分析：（1）要想证EF是⊙O的切线，只要连接OE，求证∠OEF=90°即可；
（2）求y关于x的函数关系式，可以证明△BOE∽△BAC及应用三角形的性质将两者结合求出；EF、DF与⊙O相切，易证四边形OBCF是等腰梯形，得出OB=CF，得出方程，求出OB的长．
Ⅱ:解答：解：（1）直线EF与⊙O相切（1分）
理由：如图①，连接OE，则OE=OB，∠OBE=∠OEB．
∵AB=AC，
∴∠OBE=∠C．
∴∠OEB=∠C．
∴OE∥AC．（2分）
∵EF⊥AC，
∴EF⊥OE．
∵点E在⊙O上，
∴EF是⊙O的切线．（4分）
（2）①如图②，作AH⊥BC，H为垂足，并连接OE，那么BH= 1/2BC，
∵AB=6， cosB=1/3，
∴BH=2，BC=4．（5分）
∵OE∥AC，
∴△BOE∽△BAC．
∴ BE/BC=OE/AC．
即 BE/4=x/6．
∴BE= 2x/3．
∴ EC=4-2/3x．（7分）
在Rt△ECF中， cosC=cosB=1/3，
∴ CF=EC•cosC=(4-2/3x)•1/3．
∴所求函数的关系式为 y=4/3-2/9x．（8分）
②如图③，连接OE，DE，OF，由EF、DF与⊙O相切，
∴FD=FE，且∠DFO=∠EFO．
∴OF垂直平分DE．（10分）
∵∠DEB=90°，
∴BC⊥DE．
∴OF∥BC．
∴四边形OBCF是等腰梯形．
∴OB=CF，得 4/3-2/9x=x．
解得： x=12/11．
即OB= 12/11．（12分）
Ⅲ;点评：本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．同时考查了相似三角形，等腰梯形的性质解决函数问题．
参考资料： 望采纳
考点：切线的判定；待定系数法求一次函数解析式；梯形；相似三角形的判定与性质．专题：代数几何综合题；数形结合．
分析：（1）要想证EF是⊙O的切线，只要连接OE，求证∠OEF=90°即可；
（2）求y关于x的函数关系式，可以证明△BOE∽△BAC及应用三角形的性质将两者结合求出；EF、DF与⊙O相切，易证四边形OBCF是等腰梯形，得出OB=CF，得出方程，求出OB的长．
解答：解：（1）直线EF与⊙O相切（1分）
理由：如图①，连接OE，则OE=OB，∠OBE=∠OEB．
∵AB=AC，
∴∠OBE=∠C．
∴∠OEB=∠C．
∴OE∥AC．（2分）
∵EF⊥AC，
∴EF⊥OE．
∵点E在⊙O上，
∴EF是⊙O的切线．（4分）
（2）①如图②，作AH⊥BC，H为垂足，并连接OE，那么BH= ，
∵AB=6， ，
∴BH=2，BC=4．（5分）
∵OE∥AC，
∴△BOE∽△BAC．
∴ ．
即 ．
∴BE= ．
∴ ．（7分）
在Rt△ECF中， ，
∴ ．
∴所求函数的关系式为 ．（8分）
②如图③，连接OE，DE，OF，由EF、DF与⊙O相切，
∴FD=FE，且∠DFO=∠EFO．
∴OF垂直平分DE．（10分）
∵∠DEB=90°，
∴BC⊥DE．
∴OF∥BC．
∴四边形OBCF是等腰梯形．
∴OB=CF，得 三分之四减九分之二X=X．
解得：X=十一分之十二 ．
即OB=十一分之十二 ．（12分）
点评：本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．同时考查了相似三角形，等腰梯形的性质解决函数问题．
（2）求y关于x的函数关系式，可以证明△BOE∽△BAC及应用三角形的性质将两者结合求出；EF、DF与⊙O相切，易证四边形OBCF是等腰梯形，得出OB=CF，得出方程，求出OB的长．
1)相切
连接OE，则OB=OE；∴∠B=∠OEB；
又∵AB=AC，∴∠B=∠C=∠OEB；
∴OE∥AC；又EF⊥AC，∴又EF⊥OE；得证相切；
2）过A作AG⊥BC交BC于G；则BG=AB*cosB=6*1/3=2;∴BC=2*BG=4；
∵OE∥AC；∴BE/BC=OE/AC 即BE=OE*BC/AC=x*4/6=(2/3)*x;
∴EC=BC-BE=4-(2/3)*x;
∵∠AEC=∠EFC(都是直角)；并且∠C=∠C
∴△EFC∽△AGC
∴EC/AC=CF/CG
∴CF=EC*CG/AC=[4-(2/3)*x]*2/6=4/3-(2/9)*x
即 y=4/3-(2/9)*x
3）连接DF、OF；则OD⊥DF
∵OD=OE；OF=OF；∠ODF=∠OEF(都是直角)
∴△ODF≌△OEF；∴∠DOF=∠EOF
∴∠DOE=2∠DOF
又∵∠DOE=∠OBE+∠OEB=2∠OBE
∴∠DOF=∠OBE
∴OF∥BC
又∴∠AFO=∠ACB=∠DOF=∠OBE
∴AO=AF;∴OB=CF
∴x=y=4/3-(2/9)*x
解得 x=12/11.
本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．同时考查了相似三角形，等腰梯形的性质解决函数问题．
连接OE
因为OB、OE为⊙O的半径
所以OB=OE
所以∠OBE=∠OEB
又因为AB=AC
所以三角形ABC为等腰三角形
所以∠ABC=∠ACB
所以∠OEB=∠ACB
所以OE//AC
因为EF⊥AC
所以EF⊥OE
所以EF是⊙O的切线
2）①AB=AC=6
cosB=1/3
b²=c²+a²-2accosB a=BC=4
又因为OE//AC
BE=2/3x EC=4-2/3x
因为EF⊥AC
故：CF=CE cosC=（4-2/3x ）*1/3=4/3-2/9x
y=-2/9x+4/3
②△OBE与△ABC相似，BE=2/3x
AD=6-2x AF=6-y
对cosA=（b²+c²-a²）/2bc=(36+36-16)/2*6*6=7/9
又因为DF⊥AD
cosA=AD/AF=(6-2x)/(6-y)=7/9
y=-2/9x+4/3
故x=12/11=OB
