Question

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PD⊥平面ABCD，PD=AB=2，点E、F、G是PC、PD、BC的中点。

（1）证明平面EFG⊥平面PAD，并发出D到平面EFG的距离
（2）在线段PB上确定一点Q，使PC⊥平面ADQ，并给出证明

Answer 1

1.∵PD⊥面ABCD
∴PD⊥CD
又CD⊥AD
AD∩PD=面PAD
∴CD⊥面PAD
又E、F是PC、PD中点
∴EF是△PCD的中位线
∴EF∥CD
∴EF⊥面PAD
又EF∈面EFG
∴面EFG⊥面PAD
作AD中点H，连FH、GH
∵GH∥CD∥EF
∴E、F、H、G四点共面
∴D到面EFG的距离即D到FH的距离
易求得为√2/2
2.作PB中点Q，则PC⊥面ADQ
证明：连EQ、ED
∵Q、E为PB、PC中点
∴QE∥BC∥AD
∴A、D、E、Q四点共面
∵PD⊥面ABCD
∴PD⊥AD
又AD⊥CD
∴AD⊥面PCD
∴AD⊥PC
∵PD=CD
又E是PC中点
∴DE⊥PC
又DE∩AD=面ADEQ
∴PC⊥面ADEQ
即PC⊥面ADQ