Question

如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AD垂直于过点C的直线，垂足为D，且AC平分∠BAD． (1)求证：CD是⊙O

如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AD垂直于过点C的直线，垂足为D，且AC平分∠BAD． (1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若AC＝ ，AD＝4，求AB的长．





Answer 1

（1）证明见解析；（2）6.

试题分析：（1）连接OC，推出∠DAC=∠OCA=∠CAO，推出OC∥AD，推出OC⊥DF，根据切线判定推出即可； （2）连接BC，证△DAC∽△CAB，得出比例式，代入求出即可． 试题解析：（1）证明：联结OC ∵OA=OC，∴∠1=∠2 ∵AC平分∠BAD，∴∠1=∠3． ∴∠2=∠3． ∴OC//AD ∴∠OCE=∠ADC ∵AD⊥DC  ∴∠ADC=90° ∴∠OCE=90° ∴CD是⊙O的切线． （2）解：联结BC． ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°． 又∵∠ADC=90°，∠1=∠3， ∴cos∠1=cos∠3， 即 ，∴ 把AC＝ ，AD＝4代入，得AB=6． 考点: 1.切线的判定；2.相似三角形的判定与性质．