Question

（1）如图，已知在正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上一点，MN⊥DM且交∠CBE的平分线于N．试判定

（1）如图，已知在正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上一点，MN⊥DM且交∠CBE的平分线于N．试判定线段MD与MN的大小关系；（2）若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M是AB边上或AB延长线上任意一点”，其余条件不变．试问（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．

Answer 1

证明：（1）取AD的中点H，连接穗返HM， ∵四边形ABCD是正方形，M为AB的中点， ∴BM=HD=AM=AH， ∴△AMH为等腰直角三角形， ∴∠DHM=135°， 而BN是∠CBE的平分线． ∴∠MBN=135°， ∴∠DHM=∠MBN， 又∵DM⊥MN， ∴∠NMB+∠AMD=90°， 又∵∠HDM+∠AMD=90°， ∴∠BMN=∠HDM， ∠HDM=∠BMN DH=MB ∠DHM=∠MBN ， ∴△DHM≌△MBN（ASA）， ∴DM=MN； （2）DM=MN仍成立． 如图猜颤饥1，在AD上取一点H，使DH=MB，连接HM， ∵四边形ABCD是正方形，BN平分∠CBE，DM⊥MN， ∴∠MBN=135°， ∵AH=AM， ∴∠AHM=45° ∴∠DHM=135°， ∠BMN+∠AMD=90°，∠HDM+∠AMD=90°， ∴∠BMN=∠HDM， ∴△DHM≌△MBN， ∴DM=MN． 如图2，若点M在AB的延长线上， 则在AD延长线上取点H，使DH=BM，连接HM． ∵DM⊥MN，洞碰即∠DMN=90°， ∴∠DMA+∠NME=90°， 又∵∠DMA+∠ADM=90°， ∴∠NME=∠ADM， ∴∠MDH=∠NMB（等角的邻补角相等）， 又∵BN为∠CBE的平分线，且∠CBE=90°， ∴∠NBM=45°， ∵AD=AB，DH=BM， ∴AD+DH=AB+BM，即AH=AM，且∠A=90°， ∴△AMH为等腰直角三角形， ∴∠MHD=45°， ∴∠MHD=∠NBM， 又∵DH=BM，∠MDH=∠NMB， ∴△DHM≌△MBN（ASA）， ∴DM=MN．