Question

已知函数f(x)=sin(x+7π4)+cos(x-3π4)，x∈R．（1）求f（x）的最小正周期和最小值；（2）已知cos(β-α)

已知函数f(x)=sin(x+7π4)+cos(x-3π4)，x∈R．（1）求f（x）的最小正周期和最小值；（2）已知cos(β-α)=45，cos(β+α)=-45，0＜α＜β≤π2，求f（β）的值．

Answer 1

（1）∵f(x)=sin(x+

7π

4

)+cos(x-

3π

4

)
=sinxcos

7π

4

+sin

7π

4

cosx+cosxcos

3π

4

+sinxsin

3π

4

=

2

2

sinx-

2

2

cosx-

2

2

cosx+

2

2

sinx
∴f(x)=

2

sinx-

2

cosx=2sin(x-

π

4

)，
∴T=2π，f（x）_max=2
（2）∵cos(β-α)=cosαcosβ+sinαsinβ=

4

5

，cos(β+α)=cosαcosβ-sinαsinβ=-

4

5

∴cosαcosβ=0
∵0＜α＜β≤

π

2

?cosβ=0?β=

π

2

，
∴f(β)=

2