Question

已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点

已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP=t． （Ⅰ）如图①，当∠BOP=30°时，求点P的坐标；（Ⅱ）如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ=m，试用含有t的式子表示m；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．

Answer 1

（Ⅰ）（ ，6）  （Ⅱ）m= （0＜t＜11） （Ⅲ）点P的坐标为（ ，6）或（ ，6）

试题分析：（Ⅰ）根据题意，∠OBP=90°，OB=6， 在Rt△OBP中，由∠BOP=30°，BP=t，得OP=2t． ∵OP 2 =OB 2 +BP 2 ， 即（2t） 2 =6 2 +t 2 ， 解得：t 1 =2 ，t 2 =﹣2 （舍去）． ∴点P的坐标为（ ，6）． （Ⅱ）∵△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的， ∴△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP， ∴∠OPB′=∠OPB，∠QPC′=∠QPC， ∵∠OPB′+∠OPB+∠QPC′+∠QPC=180°， ∴∠OPB+∠QPC=90°， ∵∠BOP+∠OPB=90°， ∴∠BOP=∠CPQ． 又∵∠OBP=∠C=90°， ∴△OBP∽△PCQ， ∴ ， 由题意设BP=t，AQ=m，BC=11，AC=6，则PC=11﹣t，CQ=6﹣m． ∴ ． ∴m= （0＜t＜11）． （Ⅲ）过点P作PE⊥OA于E， ∴∠PEA=∠QAC′=90°， ∴∠PC′E+∠EPC′=90°， ∵∠PC′E+∠QC′A=90°， ∴∠EPC′=∠QC′A， ∴△PC′E∽△C′QA， ∴ ， ∵PC′=PC=11﹣t，PE=OB=6，AQ=m，C′Q=CQ=6﹣m， ∴AC′= = ， ∴ ， ∴ ， ∴3（6﹣m） 2 =（3﹣m）（11﹣t） 2 ， ∵m= ， ∴3（﹣ t 2 + t） 2 =（3﹣ t 2 + t﹣6）（11﹣t） 2 ， ∴ t 2 （11﹣t） 2 =（﹣ t 2 + t﹣3）（11﹣t） 2 ， ∴ t 2 =﹣ t 2 + t﹣3， ∴3t 2 ﹣22t+36=0， 解得：t 1 = ，t 2 = ， 点P的坐标为（ ，6）或（ ，6）． 点评：此题考查了折叠的性质、矩形的性质以及相似三角形的判定与性质等知识．此题难度较大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想与方程思想的应用．