Question

如图，将△AOB置于平面直角坐标系中，其中点O为坐标原点，点A的坐标为（3，0），∠ABO=60°。（1）若△AO

如图，将△AOB置于平面直角坐标系中，其中点O为坐标原点，点A的坐标为（3，0），∠ABO=60°。（1）若△AOB的外接圆与y轴交 于点D，求D点坐标；（2）若点C的坐标为（-1，0），试猜想过D、C的直线与△AOB的外接圆的位置关系，并加以说明；（3）二次函数的图象经过点O和 A且顶点在圆上，求此函数的解析式。

Answer 1

解：（1）连结AD， ∵∠ABO=60°， ∴∠ADO=60° 由点A的坐标为（3，0）得OA=3， ∵在Rt△ADO中有 cot∠ADO= ， ∴OD=OA·cot∠ADO=3·cot60°=3× = ∴点D的坐标为（0， ）； （2）DC与△AOB的外接圆相切于点D，理由如下： 由（1）得OD= ，OA=3， ∴ ， 又∵C点坐标是（-1，0）， ∴OC=1， ∴ ，  ∵AC=OA+OC=3+1=4， ∴CD 2 +AD 2 =2 2 +（2 ） 2 =4 2 =AC 2 ， ∴∠ADC=90°， 即AD⊥DC， 由∠AOD=90°得AD为圆的直径， ∴DC与△AOB的外接圆相切于点D， （说明：也可用解直角三角形或相似三角形等知识求解） （3）由二次函数图象过点O（0，0）和A（3，0）， 可设它的解析式为 y=ax（x-3）（a≠0）， 如图，作线段OA的中垂线交△AOB的外接圆于E、F两点，交AD于M点，交OA于N点， 由抛物线的对称性及它的顶点在圆上可知，抛物线的顶点就是点E或F， ∵EF垂直平分OA， ∴EF是圆的直径， 又∵AD是圆的直径， ∴EF与AD的交点M是圆的圆心， 由（1）、（2）得OA=3，AD=2 ， ∴AN= OA= ，AM=FM=EM= AD= ， ∴ ， ∴FN=FM-MN= = ，EN=EM+MN= + = ， ∴点E的坐标是（ ， ），点F的坐标是（ ，- ）， 当点E为抛物线顶点时，有 （ -3）a= ， a= ， ∴y= x（x-3）， 即y= x 2 +2 x， 当点F为抛物线顶点时，有 （ -3）a=- ， a= ， ∴y= x（x-3）， 即y= x 2 x， 故二次函数的解析式为y= x 2 +2 x或y= x 2 x。