Question

某工厂拟建一座平面图(如下图)为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超

某工厂拟建一座平面图(如下图)为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16米，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖).(1)写出总造价 y (元)与污水处理池长 x (米)的函数关系式，并指出其定义域.(2)求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求最低总造价.

Answer 1

(1) y =800( x + )+1600，函数定义域为［12.5，16］(2) 当污水处理池的长为16米，宽为12.5米时，总造价最低，最低为45000元.

(1)因污水处理水池的长为 x 米，则宽为 米， 总造价 y =400(2 x +2× )+248× ×2+80×200=800( x + )+1600,由题设条件   解得12.5≤ x ≤16,即函数定义域为［12.5，16］. (2)先研究函数 y = f ( x )=800( x + )+16000在［12.5,16］上的单调性， 对于任意的 x 1 , x 2 ∈［12  5,16］,不妨设 x 1 ＜ x 2 , 则 f ( x 2 )－ f ( x 1 )=800［( x 2 － x 1 )+324( )］=800( x 2 － x 1 )(1－ ), ∵12.5≤ x 1 ≤ x 2 ≤16. ∴0＜ x 1 x 2 ＜16 2 ＜324,∴ >1,即1－ ＜0. 又 x 2 － x 1 >0,∴ f ( x 2 )－ f ( x 1 )＜0,即 f ( x 2 )＜ f ( x 1 ), 故函数 y = f ( x )在［12.5,16］上是减函数. ∴当 x =16时， y 取得最小值，此时， y min =800(16+ )+16000=45000(元)， =12.5(米）? 综上，当污水处理池的长为16米，宽为12.5米时，总造价最低，最低为45000元.