Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足acosC=（2b-c）cosA（1）求角A；（2）若a=3，求△ABC面

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足acosC=（2b-c）cosA（1）求角A；（2）若a=3，求△ABC面积S的最大值．

Answer 1

（1）利用正弦定理 a sinA = b sinB = c sinC 化简已知的等式得： sinAcosC=（2sinB-sinC）cosA，即sinAcosC+cosAsinC=2sinBcosA， ∴sin（A+C）=sinB=2sinBcosA， ∵B为三角形的内角，即sinB≠0， ∴cosA= 1 2 ，又A为三角形的内角， 则A= π 3 ； （2）∵a=3，cosA= 1 2 ， ∴由余弦定理a 2 =b 2 +c 2 -2bccosA，得：9=b 2 +c 2 -bc≥2bc-bc， ∴bc≤9， ∴S △ABC = 1 2 bcsinA≤ 9 3 4 ， 则△ABC面积S的最大值为 9 3 4 ．