Question

已知f（x）是定义在R上的函数，且满足f（1+x）=f（1-x），则“f（x）为偶函数”是“2为函数f（x）的一个

已知f（x）是定义在R上的函数，且满足f（1+x）=f（1-x），则“f（x）为偶函数”是“2为函数f（x）的一个周期”的（　　）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件

Answer 1

（1）若f（x）为偶函数，则：f（-x）=f（x）；
∴由已知条件得：f（x+2）=f[（x+1）+1]=f[1-（x+1）]=f（-x）=f（x）；
∴2为函数f（x）的一个周期；
∴“f（x）为偶函数“是“2为函数f（x）的一个周期的充分条件“；
（2）若2为函数f（x）的一个周期，则：f（x）=f（x+2）=f[1+（x+1）]=f[1-（x+1）]=f（-x）；
∴函数f（x）为偶函数；
∴“f（x）为偶函数“是“2为函数f（x）的一个周期“的必要条件；
综合（1）（2）得，“f（x）为偶函数“是“2为函数f（x）的一个周期“的充要条件．
故选C．