Question

已知函数f（x）=lnx-ax+1?ax-1（a∈R）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）=x2-2bx+4．当a=14时

已知函数f（x）=lnx-ax+1?ax-1（a∈R）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）=x2-2bx+4．当a=14时，若对任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），求实数b取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）∵f′（x）=-

[ax+(a?1)](x?1)

x2

（x＞0），
令g（x）=ax²-x+1-a，
①当a=0时，g（x）=-x+1，当x∈（0，1）时，g（x）＞0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x∈（1，+∞）时，g（x）＜0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
②当0＜a＜

1

2

时，由f′（x）=0，x₁=1，x₂=

1

a

-1．此时

1

a

-1＞1＞0，
列表如下：

由表格可知：函数f（x）在区间（0，1）和（

1

a

-1，+∞）上单调递减，在区间（1，

1

a

-1）上单调递增；
③当a=

1

2

时，x₁=x₂，此时f′（x）＜0，函数f（x）在（0，+∞）单调递减；
④当a＜0时，由于

1

a

-1＜0，则函数f（x）在（0，1）上单调递减；在（1，+∞）上单调递增．
⑤当

1

2

＜a＜1时，令f′（x）=

?ax2+x+a?1

x2

＞0，得-ax²+x+a-1＞0，解得：

1

a

-1＜x＜1，
此时f（x）在（

1

a

-1，1）递增，在（0，

1

a

-1）和（1，+∞）递减；
⑥当a≥1时，由于

1

a

-1≤0，令f′（x）＞0，得-ax²+x-1+a＞0，解得：0＜x＜1，
此时函数f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减；
综上：当a≤0时，函数f（x）在（0，1）上单调递减；在（1，+∞）上单调递增．
当a=

1

2

时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减．
当0＜a＜

1

2

时，函数f（x）在区间（0，1）和（

1

a

-1，+∞）上单调递减，在区间（1，

1

a

-1）上单调递增．
当

1

2

＜a＜1时，f（x）在（

1

a

-1，1）递增，在（0，

1

a

-1）和（1，+∞）递减；
当a≥1时，函数f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减；
（Ⅱ）当a＝

1

4

时，f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，
所以对任意x₁∈（0，2），有f(x1)≥f(1)＝?

1

2

，
又已知存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂），
所以?

1

2

≥g(x2)的最小值，最后答案为b＞

17

4

．