Question

已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过原点，且两条渐近线与以点A(0，2)为圆心，1为半径的圆相切，双曲

已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过原点，且两条渐近线与以点A(0，2)为圆心，1为半径的圆相切，双曲线C的一个焦点与点A关于直线y=x对称．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）设直线y=mx+1与双曲线C的左支交于A，B两点，另一直线l经过M（-2，0）和线段AB的中点，求直线l在y轴上截距b的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）设双曲线C的渐近线方程为y=kx，
又该直线与圆x2+(y?

2

)2＝1相切
所以 1＝

|k×0? 2 |

k2+1

?k＝±1
可设双曲线C的方程为

x2

a2

?

y2

a2

＝1
又双曲线C的一个焦点为（

2

，0），
所以2a²=2?a²=1
所求双曲线C的方程为  x²-y²=1
（Ⅱ）由 

y＝mx+1 x2?y2＝1

得(1?m2)x2?2mx?2＝0依题意

4m2+8(1?m2)＞0 2m 1?m2 ＜0 ?2 1?m2 ＞0

?1＜m＜

2

线段AB的中点为(

m

1?m2

，

1

1?m2

)，直线l的方程y＝

1

?2m2+m+2

(x+2)令x＝0，得b＝

2

?2m2+m+2

＝

2

?2(m? 1 4 )2+ 17 8

因为m∈(1，

2

)，所以?2(m?

1

4

)2+

17

8

∈(?2+

2

，1)
所以 直线l在y轴上截距b∈(?∞，?2?

2

)∪(2，+∞)．