Question

如图所示，倾斜轨道AB的倾角为37°，CD、EF轨道水平，AB与CD通过光滑圆弧管道BC连接，CD右端与竖直光滑圆

如图所示，倾斜轨道AB的倾角为37°，CD、EF轨道水平，AB与CD通过光滑圆弧管道BC连接，CD右端与竖直光滑圆周轨道相连．小球可以从D进入该轨道，沿轨道内侧运动，从E滑出该轨道进入EF水平轨道．小球由静止从A点释放，已知AB长为5R，CD长为R，重力加速度为g，小球与斜轨道AB及水平轨道CD、EF的动摩擦因数均为0.5，sin37°=0.6，cos37°=0.8，圆弧管道BC入口B与出口C的高度差为1.8R．求：（1）小球滑到斜面底端C时速度为多大？（2）要使小球在运动过程中不脱离轨道，竖直圆周轨道的半径R′应该满足什么条件？（3）若R′=2.5R，小球最后所停位置距D多远？注：在运算中，根号中的数值无需算出．

Answer 1

解答：解：（1）设小球到达C点时速度为v，a球从A运动至C过程，由动能定理有：
mg（5Rsin37°+1.8R）-μmgcos37°?5R=

1

2

mv2 
可得：v＝

5.6gR

（2）要使小球不脱离轨道，有两种情况：
情况一：小球能滑过圆周轨道最高点，进入EF轨道．则小球在最高点P应满足 m

vP2

R′

≥mg
小球从C点直到P点过程，由动能定理，有  ?μmgR?mg?2R′＝

1

2

mvP2?

1

2

mvb2
可得：R′≤

23

25

R＝0.92R
情况二：小球上滑至四分之一圆轨道的Q点时，速度减为零，然后滑回D．则由动能定理有：
  ?μmgR?mg?R′＝0?

1

2

mvb2
得：R′≥2.3R
（3）若R′=2.5R，由上面分析可知，球必定滑回D，设其能向左滑过DC轨道到达B点，在B点的速度为v_B，由能量守恒定律有
  

1

2

mv2＝

1

2

mvB2+mg?1.8R+2μmgR
可得：v_B=0
故知，球不能滑回倾斜轨道AB，球将在B、Q之间做往返运动，最终球将停在CD轨道上的某处．设球在CD轨道上运动的总路程为S，由能量守恒定律，有
 

1

2

mv2＝μmgS
得：S=5.6R
所以知，小球将停在D点左侧，距D点0.6R处．
答：（1）小球滑到斜面底端C时速度为

5.6gR

．
（2）要使小球在运动过程中不脱离轨道，竖直圆周轨道的半径R′应该满足的条件为R′≥2.3R．
（3）若R′=2.5R，小球将停在D点左侧，距D点0.6R处．