Question

已知数列{an}满足an+1=2an-n+1（n∈N*）．（Ⅰ）若数列{an}是等差数列，求数列{1anan+1}的前n项和Sn；（

已知数列{an}满足an+1=2an-n+1（n∈N*）．（Ⅰ）若数列{an}是等差数列，求数列{1anan+1}的前n项和Sn；（Ⅱ）证明：数列{an+2}不可能是等比数列．

Answer 1

（Ⅰ）∵数列{a_n}是等差数列，设其首项为a₁，公差为d，则a_n+1=a_n+d
∴由已知可得：a_n+d=2a_n-n+1；
a_n+d=a₁+（n-1）d  即a_n=n+d-1
又 a_n=a₁+（n-1）d
∴a₁=1，d=1   可得：a_n=n
∴

1

anan+1

＝

1

n(n+1)

＝

1

n

?

1

n+1

∴S_n=(1?

1

2

)+(

1

2

?

1

3

)+…+(

1

n

?

1

n+1

)＝

n

n+1

（Ⅱ）证明：数列{a_n+2}是等比数列，
则(a2+2)2＝(a1+2)(a3+2)
即∴a₁=2，a₂=4，a₃=7，a₄=12
于是数列{a_n+2}的前4项为4，6，9，14，
它显然不是等比数列，
数列{a_n+2}不可能是等比数列．