Question

已知非负实数a，b，c，满足ab+bc+ca=1，求证求证f（a,b,c）=1/(a+b)+1/(b+c)+1/(a+c)>=5/2成立 绝对挑战！

用正常的高中解法，不要用高数……谢谢！

Answer 1

应该是f（a,b,c）=1/(a+b)+1/(b+c)+1/(a+c)>=（3/2）根号3

f（a,b,c）=1/(a+b)+1/(b+c)+1/(a+c)=(ab+bc+ca）[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(a+c)]=
a+b+c+[ab/(a+b)]++[ac/(a+c)]++[bc/(b+c)]
先证明a+b+c>=根号3，（a+b+c）^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac≥3（ab+bc+ca）=3,所以a+b+c>=根号3。同理可证[ab/(a+b)]>=(根号3)/6，[ac/(a+c)]>=(根号3)/6,
[bc/(b+c)]>=(根号3)/6,上述等号成立的前提是a=b=c=(根号3)/3,
综上所述，f（a,b,c）=1/(a+b)+1/(b+c)+1/(a+c)>=（3/2）根号3
即f（a,b,c）=1/(a+b)+1/(b+c)+1/(a+c)>5/2，其中5/2不可取。

追问

首先非常感谢！！但是——————
"同理可证[ab/(a+b)]>=(根号3)/6，[ac/(a+c)]>=(根号3)/6,
[bc/(b+c)]>=(根号3)/6,上述等号成立的前提是a=b=c=(根号3)/3,"
这几步有点问题吧？（这种方法我以前试过）
看起来显然成立，但是[ab/(a+b)]>=(根号3)/6是怎么出来的呢？
而且貌似5/2是函数的最小值，应该是可以取等的啊……
希望能帮我解答一下，谢谢！^-^

追答

不好意思，这里跳了一步，其实是先得出a=b，b=c，c=a的，然后根据ab+bc+ca=1，得出a=b=c=(根号3)/3，才得出[ab/(a+b)]>=(根号3)/6，[ac/(a+c)]>=(根号3)/6,[bc/(b+c)]>=(根号3)/6，得出函数的最小值是 （3/2）根号3，还有5/2可取，写错了，哈哈，不好意思 让你理解错误了 我的意思是这道题目可以把最小值缩小到（3/2）根号3

Answer 2

设a≤b≤c,令f(a,b,c)=1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(c+a)
则　f(0,a+b,1/(a+b))=1/(a+b) + 1/[(a+b) + 1/(a+b)] + a+b
那么f(a,b,c)-f(0,a+b,1/(a+b))=1/(a+c) + 1/(b+c) - (a+b) - 1/[(a+b) + 1/(a+b)] (1)
又因为ab+bc+ca=1,
所以c=(1-ab)/(a+b) (2)
把(2)代入(1)得f(a,b,c)-f(0,a+b,1/(a+b))
=(a+b)/(a^2+1) + (a+b)/(b^2+1) -(a+b)-(a+b)/[(a+b)^2+1]
=(a+b)[1/(a^2+1) + 1/(b^2+1) -1- 1/((a+b)^2+1)]
=(a+b)[2ab-2a^2b^2-a^2b^2(a+b)^2] (全部通分可得)
=(a+b)[2ab(1-ab)-a^2b^2(a+b)^2]
=(a+b)[2ab(a+b)c-a^2b^2(a+b)^2]　因为1-ab=ac+bc=(a+b)c
=(a+b)ab(a+b)[2c-ab(a+b)]
=ab(a+b)^2[2c-ab(a+b)]
0≤a≤b≤c≤1 所以0≤a+b≤2,ab≤ac≤c(因为a≤1),
从而ab≤c所以ab(a+b)≤2c所以2c-ab(a+b)≥0
从而f(a,b,c)-f(0,a+b,1/(a+b))≥0所以f(a,b,c)≥f(0,a+b,1/(a+b))
而f(0,a+b,1/(a+b))=1/(a+b) + 1/[(a+b) + 1/(a+b)] + a+b
=[1+(a+b)^2]/(a+b) + (a+b)/[1+(a+b)^2]
[1+(a+b)^2]/(a+b)=1/(a+b) + (a+b)≥2
而f(x)=x + 1/x在[√2,+∞ )上单调递增
所以f(0,a+b,1/(a+b))=[1+(a+b)^2]/(a+b) + (a+b)/[1+(a+b)^2]≥2 + 1/2=5/2
(把上面的[1+(a+b)^2]/(a+b)当作f(x)中的x即可)
所以f(a,b,c)≥f(0,a+b,1/(a+b))≥5/2即证

Answer 3

明明是初中的、。