Question

如图，以△ABC的边AB,AC为腰向外作等腰三角形ABE和ACD ,且AB=AE,AC=AD,M为BC边上的中点，MA的延长线交

（1）当∠BAC=∠BAE=∠CAD=90°时 。 线段AM与线段DE的关系是___________. (2)当∠BAC≠90°时，求证线段AM与线段DE的关系。（3）当∠BAC≠90°时， ∠BAE=α°，∠CAD=(180-α）°，则线段DE与AM的大小关系怎样？其夹角∠DNM是多少？请给出证明

Answer 1

估计题中"MA的延长线交DE于N"吧?!我且这么理解了.
(1)当∠BAC=∠BAE=∠CAD=90°时 。 线段AM与线段DE的关系是(2AM=DE,且AM⊥DE).
(2)当∠BAC≠90°,∠BAE=∠CAD=90°时: 2AM=DE,且AM⊥DE.
证明:延长AM到P,使MP=MA,连接BP.
又BM=CM,∠BMP=∠CMA.
∴⊿BMP≌⊿CMA,PB=AC=AD;∠PBM=∠ACM,则BP∥AC,∠ABP+∠BAC=180°;
又∠BAE=∠CAD=90°,则:∠DAE+∠BAC=360°-(∠BAE+∠CAD)=180°;
∴∠ABP=∠DAE;又BP=AD,AB=AE.
∴⊿ABP≌⊿EAD(SAS),AP=DE,即2AM=DE;∠BAP=∠AED.
故∠AED+∠EAN=∠BAP+∠EAN=90度,得AM⊥DE.
(3)当∠BAC≠90°时,∠BAE=α°，∠CAD=(180-α）°时:2AM=DE;∠DNM=(180-α）°.
证明:延长AM到P,使MP=MA,连接BP.
同理可证:⊿BMP≌⊿CMA(SAS),BP=AC=AD;∠BPM=∠CAM;
且∠PBM=∠ACM,则BP∥AC,∠ABP+∠BAC=180°;
又∠BAE+∠CAD=a°+(180-a)°=180°,则:∠DAE+∠BAC=180°;
∴∠ABP=∠DAE;又BP=AD,AB=AE.
∴⊿ABP≌⊿EAD(SAS),PA=DE,即2AM=DE;∠ADE=∠BPA=∠CAM.
故:∠DNM=180度-(∠ADE+∠DAN)=180度-(∠CAM+∠DAN)=∠DAC=(180-α）°.

Answer 2

：（1）∵AC=A，
∴∠D=∠ACD，
∵△ACB≌△DAC，
∴∠DAC=∠ACB，∠B=∠BAC，
∵∠DAC=2∠ABC，
∴∠ACB═2∠ABC，
∴∠ABC=45°；…..（2分）

（2）如图，以A为顶点AB为边在△ABC外作∠BAE=60°，
并在AE上取AE=AB，连接BE和CE．
∵△ACD是等边三角形，
∴AD=AC，∠DAC=60°．
∵∠BAE=60°，
∴∠DAC+∠BAC=∠BAE+∠BAC．即∠EAC=∠BAD．
∴△EAC≌△BAD．…（3分）
∴EC=BD．
∵∠BAE=60°，AE=AB=3，
∴△AEB是等边三角形，
∴∠EBA=60°，EB=3．…（4分）
∵∠ABC=30°，
∴∠EBC=90°．
∵∠EBC=90°，EB=3，BC=4，
∴EC=5…（5分）
∴BD=5．…（6分）