Question

已知数列{an}中，an>0，Sn是{an}数列的前n项和，且an+1/an=2Sn，求数列{an}的通项公式

Answer 1

解：依题意，得 2S1=a1+1/a1 ∵S1=a1，an＞0 ∴2a1=a1+1/a1 ∴a1=1，a1=-1（舍去） ∵2S2=a2+1/a2 ∴2（a1+a2）=a2+1/a2 解，得a2=-1+根号2，a2=-1-根号2（舍去） ∵2S3=a3+1/a3 ∴2（a1+a2+a3）=a3+1/a3 解，得a3=-根号2+根号3 ∴猜想an=根号（n-1）+根号n，n∈N* （1）当n=1时，an=根号（1-1）+根号1=1，等式成立 （2）设n=k，k∈N*且k＞1，时，等式成立 即ak=根号（k-1）+根号k 当n=k+1时，有2S（k+1）=a（k+1）+1/a(k+1)① ∵2Sk=ak+1/ak② 由①-②，得 a（k+1）^2+a(k+1)(ak+1/ak)-1=0 即a（k+1）^2+[(根号（k-1）+根号k)^2+1]/(根号（k-1）+根号k)a（k+1）-1=0 化简，得a（k+1）^2+2[k+根号(k^2-k)]/(根号（k-1）+根号k)-1=0 解，得a（k+1）=根号k+根号（k+1） {本人没化出来，但估计应该不会错} 综上（1）（2），得，an=根号（n-1）+根号n，n∈N*