Question

一道初三关于圆的数学题

如图1，AB是半⊙O的直径，过A、B两点作半⊙O的弦，当两弦交点恰好落在半⊙O上C点时，则有AC·AC＋BC·BC=AB²．
（1）如图2，若两弦交于点P在半⊙O内，则AP·AC＋BP·BD=AB²是否成立？ 请说明理由．
（2）如图3，若两弦AC、BD的延长线交于P点，则AB²=________．参照（1）填写相应结论，并证明你填写结论的正确性．

Answer 1

(1)仍然成立
∵AB是直径
∴∠C=∠D=90°
又∵PE⊥AB
∴∠BEP=∠AEP=90°
∴△APE∽△ABC
∴AP/AB=AE/AC
即AP·AC=AB·AE
同理，BP/AB=BE/BD
即BP·BD=AB·BE
∴AP·AC+BP·BD=AB·(AE+BE)=AB·AB=AB²

（2）AB²=AC·AP+BP·BD
证明：如图3，AD和BC分别为△PAB中PA，PB的高
设AD、BC交于F，作PF交AB于E，那么PE为
AB边上的高

∵AB是圆O的直径
∴∠ACB=∠ADB=∠PEA=90°
∴△ABC∽△APE
∴AC/AE=AB/AP
即AC·AP=AE·AB
同理，BP·BD=AB·BE
∴AC·AP+BP·BD=AB·(AE+BE)=AB²
即AB²=AC·AP+BP·BD 仍然成立

Answer 2

只说重点，过程从简，自行完善
△ABC∽△APE
则AP·AC=AE·AB
△BAD∽△BPE
则BP·BD=BE·AB
∴AP·AC＋BP·BD
=AE·AB+BE·AB
=（AE+BE）·AB
=AB²