Question

如图，在平面直角坐标系中，以点0′（-2，-3）为圆心，5为半径的圆交x轴于A、B两点，过点B作⊙O′的切线

如图，在平面直角坐标系中，以点0′（-2，-3）为圆心，5为半径的圆交x轴于A、B两点，过点B作⊙O′的切线，交y轴于点C，过点0′作x轴的垂线MN，垂足为D，一条抛物线（对称轴与y轴平行）经过A、B两点，且顶 点在直线BC上．（1）求直线BC的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）设抛物线与y轴交于点P，在抛物线上是否存在一点Q，使四边形DBPQ为平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）连接O′B ∵O′（-2，-3），MN过点O′且与x轴垂直 ∴O′D=3，OD=2，AD=BD= 1 2 AB ∵⊙O′的半径为5 ∴BD=AD=4 ∴OA=6，OB=2 ∴点A、B的坐标分别为（-6，0）、（2，0） ∵BC切⊙O′于B ∴O′B⊥BC ∴∠OBC+∠O′BD=90° ∵∠O′BD+∠BO′D=90° ∴∠OBC=∠BO′D ∵∠BOC=∠BDO′=90° ∴△BOC ∽ △O′DB ∴ OB O′D = OC BD ∴OC= OB?BD O′D = 2×4 3 = 8 3 ∴点C的坐标为（0， 8 3 ） 设直线BC的解析式为y=kx+b ∴ b= 8 3 2k+b=0 解得 k=- 4 3 b= 8 3 ∴直线BC的解析式为y=- 4 3 x+ 8 3 ； （2）由圆和抛物线的对称性可知MN是抛物线的对称轴， ∴抛物线顶点的横坐标为-2 ∵抛物线的顶点在直线y=- 4 3 x+ 8 3 上 ∴y= 16 3 即抛物线的顶点坐标为（-2， 16 3 ） 设抛物线的解析式为y=a（x+6）（x-2） 得 16 3 =a（-2+6）（-2-2） 解得 a=- 1 3 ∴抛物线的解析式为y=- 1 3 （x+6）（x-2）=- 1 3 x 2 - 4 3 x+4； （3）由（2）得抛物线与y轴的交点P的坐标为（0，4）， 若四边形DBPQ是平行四边形， 则有BD ∥ PQ，BD=PQ， ∴点Q的纵坐标为4 ∵BD=4 ∴PQ=4 ∴点Q的横坐标为-4 ∴点Q的坐标为（-4，4） ∴当x=-4时，y=- 1 3 x 2 - 4 3 x+4=- 1 3 ×16+ 16 3 +4=4 ∴点Q在抛物线上 ∴在抛物线上存在一点Q（-4，4），使四边形DBPQ为平行四边形．