Question

定义在R上的可导函数f（x）满足f（-x）=f（x），f（x-2）=f（x+2），且当x∈[0，2]时， f(x)= e x +

定义在R上的可导函数f（x）满足f（-x）=f（x），f（x-2）=f（x+2），且当x∈[0，2]时， f(x)= e x + 1 2 x f ′ (0) ，则 f( 7 2 ) 与 f( 16 3 ) 的大小关系是（　　） A． f( 7 2 )＞f( 16 3 ) B． f( 7 2 )=f( 16 3 ) C． f( 7 2 )＜f( 16 3 ) D．不确定

Answer 1

∵f（x-2）=f（x+2），∴f（x+4）=f（x）． 又f（-x）=f（x）， ∴ f( 7 2 )=f( 7 2 -4)=f(-0.5)=f(0.5) ， f( 16 3 )=f( 16 3 -4)=f( 4 3 ) ． ∵当x∈[0，2]时， f(x)= e x + 1 2 x f ′ (0) ， ∴ f ′ (x)= e x + 1 2 f ′ (0) ，令x=0，则 f ′ (0)=1+ 1 2 f ′ (0) ，解得f ′ （0）=2． ∴f ′ （x）=e x +x＞0，（x∈[0，2]） ∴函数f（x）在区间[0，2]上单调递增． ∴ f(0.5)＜f( 4 3 ) ，即 f( 7 2 )＜( 16 3 ) ． 故选C．