Question

已知椭圆 C： x 2 8 + y 2 4 =1 的左焦点为F 1 ，直线l：y=x-2与椭圆C交于A

已知椭圆 C： x 2 8 + y 2 4 =1 的左焦点为F 1 ，直线l：y=x-2与椭圆C交于A、B两点．（1）求线段AB的长；（2）求△ABF 1 的面积．

Answer 1

（1）设A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ）． 因为 x 2 8 + y 2 4 =1 和y=x-2相交，把两个方程联立，得 x 2 +2 y 2 -8=0 y=x-2 代入得到x 2 +2（x-2） 2 -8=0，即3x 2 -8x=0，解得 x 1 =0， x 2 = 8 3 所以 y 1 =-2， y 2 = 2 3 ， 所以 |AB|= (0- 8 3 ) 2 + (-2- 2 3 ) 2 = 8 3 2 （2）法一：因为点F 1 （-2，0）到直线y=x-2的距离为 d= |-2-2| 1+1 =2 2 所以 S △AB F 1 = 1 2 |AB|?d= 1 2 ? 8 2 3 ?2 2 = 16 3 法二：直线y=x-2通过椭圆的右焦点F 2 （2，0）， 则△ABF 2 的面积为 S △AB F 1 = 1 2 | F 1 F 2 |(| y 1 |+| y 2 |) = 1 2 ×4×(2+ 2 3 )= 16 3