Question

已知：如图，△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是角平分线。（1）求证：AD 2 =CD·AC；（2）若AC=a，求AD。

已知：如图，△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是角平分线。（1）求证：AD 2 =CD·AC；（2）若AC=a，求AD。

Answer 1

解：（1）证明：如图， ∵在△ABC中，AB=AC，∠A=36°， ∴∠ABC=∠ACB=72°． 又∵BD是角平分线， ∴∠CBD=∠A=36°， 又∵∠C=∠C， ∴△ABC∽△BDC， ∴  ，即BD?BC=CD?AB． 易证BD=BC=AD， 又∵AB=AC， ∴AD 2 =CD?AC． （2）若AC=a， AD2=CD*AC AD2=（AC-AD）*AC=AC2-AD*AC=a2-aAD AD2+aAD-a2=0 AD1=[-a+√（a2+4a2）]/2=（-a+a ）/2； AD2=[-a-√（a2+4a2）]/2=（-a-a ）/2，（负值，舍去）。